Хорда это

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Хорда это

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Окружность и круг
ФигураРисунокОпределение и свойства
Окружность      Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Круг   Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус      Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда      Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр      Хорда, проходящая через центр окружности.Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая      Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Окружность
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности.Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги
У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПроизведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:Посмотреть доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.AB = ACПосмотреть доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСправедливо равенствоПосмотреть доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСправедливо равенство:Посмотреть доказательство
Пересекающиеся хорды
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:Посмотреть доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.AB = ACПосмотреть доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Справедливо равенствоПосмотреть доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Справедливо равенство:Посмотреть доказательство
Пересекающиеся хорды
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:Посмотреть доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.AB = ACПосмотреть доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Справедливо равенствоПосмотреть доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Справедливо равенство:Посмотреть доказательство

      Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Рис. 1

      Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Рис. 2

      Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC.

Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны).

Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Рис. 3

      Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Рис. 4

      Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

      Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Рис. 5

      Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:

      Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

(1)

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

(2)

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Поэтому

      Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/training.htm

Секущие и хорды в окружности. Подробная теория с примерами

Хорда это

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

Здесь   – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Здесь   – хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда   является кусочком секущей  ? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас   – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе “Теорема синусов” и “Теорема косинусов” – с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  .Тогда 

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на   – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется: 

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку   – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка  . Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

А теперь попробуем доказать.

Рассмотрим   и  . У них углы   равны как вертикальные и  , потому что они опираются на одну дугу  . Значит,   по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие   и  , а не просто «голое» произведение  .

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

Докажем? Снова рассмотрим   и  .

Значит,   (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  ). Но   – как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

То есть  .

Из всего этого следует, что   по двум углам (  – общий и  ).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Касательные и секущие

В предыдущем пункте мы выяснили, что  

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая   и «превратится» в касательную? Вот так:

Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:  .

Тут точки   и   как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

 Здесь рассмотрим  и  .
  1.   – общий
  2.   – угол между касательной   и хордой  , а   – вписанный, опирающийся на дугу  .

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные, касающиеся окружности»).

Получилось, что   по двум углам (  – общий и  ).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то,  , но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника   и  . Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

 , то есть  

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

Секущие и хорды в окружности. краткое изложение и основные формулы

Хорда и секущая

  • Здесь AC – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
  • Здесь BC – хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

  • Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  . Тогда:  .

Произведение длин отрезков хорд и секущих

  • Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  .

Касательные и секущие

  • Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

можно кликнув по этой ссылке.

Источник: https://youclever.org/book/sekushhie-i-hordy-v-okruzhnosti-2

Строительство хорд

Хорда это

Четыре новые хордовые магистрали – Северо-Западная, Северо-Восточная, Юго-Восточная хорды и Южная рокада – будут иметь выходы на МКАД и обеспечивать между собой съезды-выезды транспорта в местах пересечения.

По мнению многих экспертов, эта система организации движения на 20% более эффективна, чем замкнутая кольцевая, поэтому хордами планируется заменить Четвертое транспортное кольцо.

В планах – соединить Северо-Западную и Северо-Восточную хорды в районе Фестивальной улицы с выходом на дорогу до Бусиновской развязки и далее на платную трассу Москва – Санкт-Петербург. Южная рокада будет пересекаться с Северо-Западной хордой в районе Крылатское. Юго-Восточная хорда выйдет на автомобильную трассу федерального значения М-7 «Волга» и соединится с Новой Москвой.

Северо-Западная хорда призвана обеспечить связь между северо-восточными и юго-западными районами Москвы, минуя центр города.

Предполагается, что хордовая магистраль пройдет от Сколковского шоссе по улицам: Витебской, Кубинка, Боженко, Ярцевской, Крылатской, Нижние Мневники, Народного Ополчения, Алабяна, Балтийской, Большой Академической, 3-му Нижнелихоборскому проезду, далее по участкам нового строительства вдоль Малого кольца МЖД до проезда Серебрякова с выходом на Ярославское шоссе у Северянинского путепровода.

Северо-Восточная хорда пройдет от платной дороги Москва – Санкт-Петербург до Рязанского проспекта. Она должна соединить по периферии, минуя центр Москвы, городские районы на севере, северо-востоке и востоке.

Предполагается, что хордовая магистраль пройдет от Бусиновской развязки до Фестивальной улицы, Дмитровского, Ярославского шоссе. Далее пересечет Открытое, Щелковское, Измайловское шоссе и выйдет на строящийся участок 4-го Транспортного кольца от Измайловского шоссе до шоссе Энтузиастов.

От шоссе Энтузиастов хорда пойдет до развязки МКАД с магистралью Вешняки – Люберцы, далее до границ с областью для соединения с федеральной автомобильной дорогой Москва – Ногинск – Казань.

Южная рокада пройдет от МКАД через Рублевское шоссе, Балаклавский проспект, Варшавское шоссе, Кантемировскую улицу, Каширское шоссе и улицу Борисовские Пруды.

Рокада станет дублером МКАД и южного участка Третьего транспортного кольца, позволив перераспределить транспортные потоки и разгрузить Каширку, Варшавку и Пролетарский проспект.

При формировании этой магистрали предполагается использовать существующие дороги и все возможности по их расширению.

Юго-Восточная хорда пересечет самые загруженные дороги Москвы – Рязанский и Волгоградский проспекты, Каширское шоссе. Хорда пройдет через 10 районов Москвы, пять автомобильных магистралей и четыре округа: Восточный, Юго-Восточный, Южный и Юго-Западный.

ЮВХ выйдет на автомобильную трассу федерального значения М-7 «Волга» и соединится с Новой Москвой. Ее длина составит 25,3 км. Строительство планируется закончить до конца 2025 года, сейчас идет проектирование.

С запуском хорды разгрузятся на 15% в среднем вылетные магистрали –Мичуринский проспект, Сколковское, Можайское, Рублевское, Звенигородское, Волоколамское, Ленинградское и Дмитровское шоссе, а также ряд центральных улиц, Третье транспортное кольцо и МКАД. 

В районе Дмитровского шоссе организован съезд с Северо-Западной хорды на Северо-Восточную с движением в сторону аэропорта Шереметьево либо в сторону Ярославского шоссе. 

Строительство хорды снизит транспортную нагрузку на ряд центральных улиц, ТТК, МКАД и прилегающие участки вылетных магистралей. Пробег автомобилей при проездах между соседними районами сократится примерно на 10%.

Работы велись по участкам. 

Последние введенные объекты. Построен балочный мост через шлюз № 9 Канала им. Москвы, проведена реконструкция улиц Народного Ополчения и Нижние Мнёвники и открыта транспортная развязка на пересечении МКАД с улицей Генерала Дорохова.

1-й участок: Дмитровское шоссе – Большая Академическая 

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО

Реконструирована ул. Большая Академическая от ул. Приорова до Дмитровского шоссе. Здесь построено 6,5 км дорог, в том числе тоннель под ул. Михалковская и три пешеходных перехода.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • улучшилась транспортная ситуация в районах Коптево и Тимирязевский;
  • появились новые поперечные связки между Дмитровским и Ленинградским шоссе;
  •  пропускная способность на участке увеличилась на 30%.

Также построен тоннель на пересечении Дмитровского шоссе с 3-м Нижнелихоборским проездом. Здесь проложено 3 км дорог и два подземных пешеходных перехода.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • обеспечено бессветофорное движение транспорта по тоннелю на Дмитровском шоссе в районе 3-го Нижнелихоборского проезда.

2-й участок: Большая Академическая Ленинградский проспект

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО

Здесь построено почти 3 км дорог, в том числе Алабяно-Балтийский тоннель и боковой съездной тоннель с ул. Балтийская на ул. Большая Академическая.

РЕЗУЛЬТАТ:

3-й участок: Ленинградский проспект проспект Маршала Жукова (южный участок СЗХ 1)

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО

Здесь проложили участок дороги от Ленинградского шоссе с выходом на ул. Мнёвники через ул. Народного Ополчения. Построили винчестерный тоннель, пять подземных пешеходных переходов и один надземный.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • улучшилась транспортная ситуация в районах Щукино, Хорошёво-Мнёвники и Сокол;
  • созданы поперечные связки между Ленинградским и Волоколамским шоссе в районе станции метро «Сокол», проспектом Маршала Жукова, продолжением которого является Новорижское шоссе;
  • на участке от ул. Алабяна – Народного Ополчения до проспекта Маршала Жукова организовано бессветофорное движение по трем полосам в каждом направлении с разрешенной скоростью до 80 км/ч;
  • пропускная способность участка увеличилась до 30%.

4-й участок: проспект Маршала Жукова –  Можайское шоссе: реконструкция улиц Крылатская, Ярцевская, Боженко, Кубинка с выездом на Можайку + уникальный балочный мост 

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО

Здесь построили и реконструировали почти 9 км дорог, в том числе возвели новый Крылатский мост и один подземный пешеходный переход.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • улучшилась транспортная ситуация на северо-западе столицы в районах Хорошёво-Мнёвники, Крылатское, Кунцево и Филёвский парк;
  • обеспечено бессветофорное движение на участке;
  • пропускная способность автотранспорта  на прилегающих улицах улучшилась на 30%;
  • появились поперечные дорожные связки между проспектом Маршала Жукова, Рублевским и Можайским шоссе.

Ввели эстакаду основного хода на ул. Боженко через пути Смоленского направления МЖД и эстакаду через ул. Крылатская с ул. Крылатские Холмы на ул. 2-я Крылатская.

Реконструируемый отрезок трассы начинается от ул. Нижние Мнёвники, д. 62, пересекает шлюз № 9 Карамышевского гидроузла канала им. Москвы и Карамышевскую набережную. Затем трасса проходит по участку ул. Народного Ополчения до примыкания к тоннелю у дома № 11.

Самый сложный объект строительства на этом участке – балочный мост через шлюз № 9 канала им. Москвы. Его длина составляет 600 метров. Для монтажа бетонных блоков использовались гигантские краны грузоподъемностью 750 тонн.

Конструкции произвели на Борисовском заводе мостовых металлоконструкций в Белгородской области. 

Старый шлюзовой Карамышевский мост, расположенный в 200 метрах от нового сооружения, будет использоваться для местных поездок без выезда на транзитную магистраль Северо-Западной хорды.

На новом Карамышевском мосту – по три полосы для движения в каждом направлении. 

Генпроектировщик – АО «Мосинжпроект», генподрядчик – ПАО «Мостотрест».
 

РЕЗУЛЬТАТ:

  • до начала реконструкции на ул. Нижние Мнёвники было по две полосы движения в каждом направлении. Ее расширят до 6 полос (по три в каждую сторону);
  • новый мост через Карамышевское спрямление обеспечит бессветофорное движение от Рублевского шоссе по Мневниковской пойме до ул. Народного Ополчения.

Мост является последним участком Северо-Западной хорды. С его вводом в эксплуатацию завершен весь проект этой скоростной магистрали.

5-й участок: Мичуринский проспект Можайское шоссе. Реконструкция Рябиновой улицы

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО

До реконструкции Рябиновую улицу разделяли железнодорожные пути Киевского направления. В результате водителям приходилось делать крюк через МКАД.

Рябиновую улицу расширили. Через ж/д пути возвели эстакаду. Также эстакада появилась на пересечении с ул. Генерала Дорохова.

На пересечении ул. Рябиновая с Троекуровским проездом построили разворотную эстакаду. Она позволила автомобилистам попасть с Рябиновой ул. на МКАД, минуя Можайское шоссе.

Также на ул. Рябиновая со стороны Можайского шоссе возвели разворотную эстакаду. Витебскую улицу расширили до четырех полос движения в сторону Можайки и до двух полос для встречного движения, и запустили общественный транспорт.

Сколковское шоссе расширили и построили эстакаду на пересечении с ул. Вяземская и Витебская. Возвели разворотную эстакаду с Рябиновой улицы и мост через реку Сетунь.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • увеличилась пропускная способность участка;
  • организовано бессветофорное движение транспорта;
  • разгрузилось Можайское шоссе;
  • новая трасса стала дублером МКАД на участке от Можайки до Мичуринского проспекта.

6-й участок: Аминьевское шоссе до развязки с ул. Генерала Дорохова 

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО. СТАНЕТ ЧАСТЬЮ ЮЖНОГО ДУБЛЕРА КУТУЗОВСКОГО ПРОСПЕКТА

Здесь построили 6,6 км дорог, в том числе эстакаду, тоннель, два моста через реку Сетунь, два подземных пешеходных перехода и один надземный.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • реконструкция Аминьевского шоссе (частичные расширения), строительство боковых проездов, эстакад и тоннеля позволили увеличить пропускную способность в среднем на 30%.

7-й участок: транспортная развязка на пересечении Аминьевского шоссе с ул. Генерала Дорохова

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО

Здесь построили 3 км дорог, в том числе тоннель и два очистных сооружения.

РЕЗУЛЬТАТ:

  • строительство развязки позволило разделить транспортные потоки по ул. Генерала Дорохова и Аминьевскому шоссе;
  • разгрузило Аминьевское шоссе на 27%;
  • увязка этого этапа строительства с Южным дублером Кутузовского проспекта позволит создать дублеры Можайки и Мичуринского проспекта, обеспечив бессветофорное движение от МКАД до ТТК.

8-й участок: транспортная развязка на пересечении ул. Генерала Дорохова с МКАД

СТРОИТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО 

Реконструкция «клеверной» развязки на пересечении улицы Генерала Дорохова с МКАД началась в феврале 2018 года и закончилась почти на полгода раньше срока. Всего здесь построили 5,5 км дорог.

В ходе реконструкции построили:

  • левоповоротную эстакаду для съезда с ул. Генерала Дорохова на внешнюю сторону МКАД.  По  ней будет организовано движение по одной-двум полосам;
  • переходно-скоростные полосы в местах примыкания боковых проездов и съездов на МКАД;
  • боковой проезд вдоль внутренней стороны МКАД на подъездах к транспортной развязке на пересечении ул. Генерала Дорохова и МКАД;
  • боковой проезд вдоль внешней стороны МКАД на подъездах к транспортной развязке на пересечении ул. Генерала Дорохова и МКАД;
  • тоннель на съезде с внутренней стороны МКАД в сторону области.

Генпроектировщик – АО «Мосинжпроект», генподрядчик – ПАО «Мостотрест». Решение о реконструкции развязки принято в связи с завершением строительства основного хода Северо-Западной хорды и будущим увеличением транспортных потоков на этом участке МКАД.

Реконструкция развязки на пересечении МКАД с ул. Генерала Дорохова позволила:

  • избавиться от транспортных заторов;
  • улучшить транспортную доступность инновационного центра «Сколково»;
  • улучшить движение на ул. Генерала Дорохова;
  • обеспечить комфортный въезд/выезд транспорта с Северо-Западной хорды на МКАД.

Источник: https://stroi.mos.ru/road/stroitiel-stvo-khord

Что называется хордой окружности в математике и геометрии: определение, основные свойства

Хорда это

> Наука > Математика > Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

  • Как построить геометрическую хорду
  • Свойства
  • Взаимосвязь с радиусом и диаметром
  • Хорда и радиус
  • Отношения со вписанными углами
  • Взаимодействия с дугой

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Если расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

: разность векторов, определение разности.

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Если описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Если стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Если углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Две равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Отзывы и комментарии

Источник: https://obrazovanie.guru/nauka/matematika/chto-takoe-horda-okruzhnosti-v-geometrii-eyo-opredelenie-i-svojstva.html

МедСпециалист
Добавить комментарий